Simone
1.正交变换x=Py:指矩阵P是正交今矩阵，即P的列(行)向量两东告两正交,且长度为1。
正交矩阵满足：P^TP烈斯奏刚状题里=PP^T=E,即P^（-1）=P^T.
2.正交变换的作用：
来自①正交变换可以化二次型片检象刻为标准型。在二次型中，我们希望找到360问答一个可逆矩阵C，经可逆变换x=Cy，使二次型f茶商久水浓额=x^TAx=（Cy）^TACy=y^T（C^TAC）y变象格括展五陈般老采更成标准型，也就是要使C^TAC为对角阵。
已触旧温沙片支由实对称矩阵的对角化知，任给对称阵A，总有正交矩阵P，使P^（-1）AP为对角阵,因为蚂哗改正交矩阵P^（-1）=P^T，所以P^TAP为对角阵。
这样，如果我用的是正交变换x=Py，不就可以把二次型f=x^TAx化为f=y^T（P^TAP）y=y^T（P^（-1）AP）y=y^TΛy（其中，Λ为对角阵）了吗。如此一来，就用正交变换实现了二次型的标准化。
这是正交变换的第闷判一个作用。
②正交变封换可以研究图形的几何性质。因为地正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E，所以对于正交变换x=Py，有|x|=√（x^Tx）=√（y严高后策黑^TP^TPy）=测培染编用兴√（y^Ty）=|y|.其委吧硫准中，|x|表示向量x的长度。
由此可见，经过正交变换后，|x|=|y|，即向量长度保持不变。
同理可证=，其中，>表示就批晚护病孩草肉配针呼两向量的内积。即两向体补极威找混换量经同一正交变换后，两向量的内积不变，而刚刚证径批成维贵过，他们的长度也不变，所以两向量的交角不变。
由于正交变换保持向量长度、内积不变，因而保持两向量夹角及正交性不变。因此施以正交变换后，图形的几何形状不变，可以利用正交变换研究图形的几何周白飞境之冷异危育性质。
这是正交变换的第二个作用吸右注盾盟将号望答。
完～打字好累～哦～
如芦搭有问题，欢迎追问。
