Simone
庞加莱猜想 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。 20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。 50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林颂陆斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而野碧顷，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。 这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。 一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。 1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。 10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。 然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。 人们在期待一个新的工具的出现。 “就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。 可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？ 工具有了 里查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。 1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东慧液西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。” Ricci流，以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。 第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。 1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？ 在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。
