Simone
只要是可以称为矩阵的数列都是满足数的运算法则的这里首先要弄清楚什么是矩阵矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵。把用在解线性方程组上既方便，又直观。例如对于方程组。a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3来说，我们可以构成两个矩阵：a1b1c1a1b1c1d1a2b2c2a2b2c2d2a3b3c3a3b3c3d3因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。矩阵这一具体概念蔽碧是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状。随后移动处筹，就可以求出这个方程的解。在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年。数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。请参考矩阵理论。目录 [隐藏]1 历史2 定义和相关符号2.1 一般环上构作的矩阵2.2 分块矩阵3 特殊矩阵类别4 矩阵运算5 线性变换，秩，转置6 Jacobian 行列式7 参见[编辑]历史矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants)。1750年，加布里尔·克拉默其后又定下了克拉默法则。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词。研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼。[编辑]定义和相关符号以下是一个 4 × 3 矩阵：某矩阵 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j] 或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。在C语言中，亦以 A[i][j] 表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)此外 A = (aij)，意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作中。[编辑]一般环上构作的矩阵给出一环 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。若 m=n，键并困则通常记以 M(n,R)。这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故 M(n,R) 本身是一个环，而此环与左 R 模 Rn 的自同态环同构。若 R 可置换， 则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数。其上可以莱布尼茨公式定义 行列式：一个矩阵可逆当且仅稿念当其行列式在 R 内可逆。在维基百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。[编辑]分块矩阵分块矩阵 是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵可分割成 4 个 2×2 的矩阵。此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。[编辑]特殊矩阵类别对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称, 即是 ai,j=aj,i。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对, 是 ai,j=ai+1,j+1。随机矩阵所有列都是概率向量, 用于马尔可夫链。[编辑]矩阵运算给出 m×n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。举例：另类加法可见于矩阵加法.若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。例如此乘法有如下性质：(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。对其他特殊乘法，见矩阵乘法。[编辑]线性变换，秩，转置矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn。 这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。转置有以下特性：(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。
