双曲线的定义

双曲线的四种定义

双曲线第一定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

【例1】设圆C1:(x+√5)2+y2=4与圆C2：（x-√5)2+y2=4，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切．求动圆C的圆心轨迹L的方程；

【分析】（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，可得|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．

【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），半径为r，

则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，

∴|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|＝2，

由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，b＝1，

双曲线的方州备程为：x2/4-y2=1(x≥2)；

【点评】通过圆与圆的位置关系，消除动圆半径后符合双曲线的定义，通过定义姿哗直接写出方程．

双曲线第二定义（统一定义）：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

【例2】设双曲线x2-y2/3=1的左右焦点为F1，F2．点P（6，6）为双曲线内部的一点，点M是双曲线右支上的一点，求|MP|+|MF2|/2的最小值．

【分析】设过M作准线的垂线MN，垂足为N，欲求|MP|+|MF2|/2的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．

【解答】解∵双曲线方程为x2-y2/3=1，

∴a＝1，b=√3，c＝2，

可得离心率e＝2，

设过M作准线的垂线MN，垂足为N，则|MF2|/|MN|=2，

∴|MN|=|MF2|/2，

∴|MP|+|MF2|/2＝|MP|+|MN|，

当且仅当M，N，P三点共线时|MP|+|MF2|/2的值最小，这个最小值为6-1/2=11/2．

【点评】求|MP|+|MF2|/2的最小值，通过圆锥曲线的统一定义将|MF2|/2转化为|MN|，点到直线垂线段最短．

双曲线第三定义（参数方程）：双曲线方程：x2/a2-y2/b2=1，可以看成：(x/a)2-(y/b)2=1。而且：sec2α-tan2α=1，所以x=asecα,y=btanα.

在以a、b为半径的圆上分别画出角α对应的asecα与btanα值对应的线段，以（asecα，btanα）为坐标点形成的轨迹即慎山为双曲线。

以下视频来源于

解题的艺术

【说明】双曲线的参数方程不是高考范围内的内容，对比椭圆的参数作为了解。

双曲线第四定义（斜率积）：双曲线的两个顶点与双曲线上任意一点形成两条直线，两条斜率积为b2/a2。

【例3】已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2（A1，A2为双曲线C的两个顶点）的迹孝行斜率之积KPA1.KPA2=1，求双曲线C的标准方程．

【分析】分类讨论派空，设出标准方程，确定双曲线的顶点坐标，利用尘迹瞎斜率关系及点P的坐标，即可得到结论．

【解答】

【点评】知道斜率积结论，清晰知道解题思路，把斜率积转化成与a、b相关方程得解．